问题
解答题
一开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，C（m，-2）为抛物线顶点，且AC⊥BC．
（1）若m是常数，求抛物线的解析式；
（2）设抛物线交y轴正半轴于D点，抛物线的对称轴交x轴于E点．问是否存在实数m，使得△EOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m）2-2，
∵AC⊥BC，
∵由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，
又∵AB=4，
∴B（m+2，0）
代入y=a（x-m）2-2，得a=
．1 2
∴解析式为：y=
x2-mx+1 2
m2-2．1 2
（2）由（1）得D（0，
m2-2），1 2
设存在实数m，使得△EOD为等腰三角形．
∵△EOD为等腰三角形，
∴只能OD=OE．
①当点E在x轴正半轴，
∵m＞0时，∴
m2-2=m．1 2
解得m=1+
或m=1-5
（舍）．5
②当点E在x轴负半轴，∵m＜0时，∴
m2-2=-m．1 2
解得m=-1-
或m=-1+5
（舍）；5
③当点E在原点，即m=0时，B、O、D三点共线（不合题意，舍）
综上所述：存在实数m=1+
或m=-1-5
，使得△EOD为等腰三角形．5