（1）由柯西不等式得，

（

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3z

+

z2

z+2x+3y

）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]≥（x+y+z）²=27

得：

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3x

+

z2

z+2x+3y

≥

3

2

；

（2）∵

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

=

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

，

由柯西不等式得：（

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx）），

由柯西不等式得：（

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx））≥9

所以，(

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

)≥

9

(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))

=

9

2log3(xyz)

，

又∵3

3

=x+y+z≥3

3	xyz

．

∴xyz≤3

3

．

∴log3xyz≤

3

2

．得

9

2log3xyz

≥

9

2

×

2

3

=3

所以，

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

≥3当且仅当x=y=z=

3

时，等号成立．

故所求的最小值是3．