必做题当n≥1，n∈N*时，（1）求证：Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…

问题解答题

必做题

当n≥1，n∈N^*时，

（1）求证：C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2=n（1+x）^n-1；

（2）求和：1²C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ．

答案

证明：（1）设f（x）=（1+x）ⁿ=C_n°+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+…+C_nⁿxⁿ…①，

①式两边求导得：n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，…②

（2）②的两边同乘x得：nx（1+x）^n-1=C_n¹x2C_n²x²+3C_n³x³+…+（n-1）C_n^n-1x^n-1+nC_nⁿxⁿ，…③，

③式两边求导得：n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2=C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+（n-1）²C_n^n-1x^n-2+n²C_nⁿx^n-1，…④，

④中令x=1得，C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ=n2^n-1+n（n-1）2^n-2=2^n-2•n（n+1）．