（1）易得，f₁（x）=（-

1

2

x²+2x）e -

1

2

x，

f₂（x）=（

1

4

x²-2x+2）e -

1

2

x，

f₃（x）=（-

1

8

x²+

3

2

x-3）e -

1

2

x，

∴f₃（0）=-3．

（2）不失一般性，设函数f_n-1（x）=（a_n-1x²+b_n-1x+c_n-1）e^λx，导函数为f_n（x）=（a_nx²+b_nx+c_n）e^λx，

其中n=1，2，…，常数λ≠0，a₀=1，b₀=c₀=0．

对f_n-1（x）求导得：f_n-1′（x）=[λa_n-1x²+（2a_n-1+λb_n-1]x+（b_n-1+λc_n-1）]e^λx，

故由f_n-1′（x）=f_n（x）得：a_n=λa_n-1    ①，

b_n=2a_n-1+λb_n-1 ②，

c_n=2b_n-1+λc_n-1  ③

由①得：a_n=λⁿ，n∈N，

代入②得：b_n=2λⁿ+λb_n-1，即

bn

λn

=

2

λ

+

bn-1

λn-1

，其中n=1，2，…，

故得：b_n=2n•λ^n-2+λc_n-1．

代入③得：c_n=2nλ^n-2+λc_n-1，即

cn

λn

=

2n

λ2

+

cn-1

λn-1

，其中n=1，2，…，

故得：c_n=n（n-1）•λ^n-2，

因此f_n（0）=c_n=n（n-1）λ^n-2．

将λ=-

1

2

代入得：f_n（0）=n（n-1）（-

1

2

）^n-2．其中n∈N．

（3）由（2）知f_n+1（0）=n（n+1）（-

1

2

）^n-1，

当n=2k（k=1，2，…）时，S_2k-S_2k-1=f_2k+1（0）=2k（2k+1）(-

1

2

)2k-1＜0，

∴S_2k-S_2k-1＜0，S_2k＜S_2k-1故当S_n最大时，n为奇数．

当n=2k+1（k≥2）时，S_2k+1-S_2k-1=f_2k+2（0）+f_2k+1（0）

又f_2k+2（0）=（2k+1）（2k+2）(-

1

2

)2k，f_2k+1（0）=2k（2k+1）(-

1

2

)2k-1，

∴f_2k+2（0）+f_2k+1（0）=（2k+1）（2k+2）(-

1

2

)2k+2k（2k+1）(-

1

2

)2k-1=（2k+1）（k-1）(-

1

2

)2k-1＜0，

∴S_2k+1＜S_2k-1，因此数列{S_2k+1}是递减数列

又S₁=f₂（0），S₃=f₂（0）+f₃（0）+f₃（0）=2，

故当n=1或n=3时，S_n取最大值S₁=S₃=2．