（Ⅰ）函数y=x²+2x的导数y′=2x+2，

曲线C₁在点P（x₁，x₁²+2x₁）的切线方程是：

y-（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x-x₁），

即y=（2x₁+2）x-x₁²①

函数y=-x²+a的导数y′=-2x，

曲线C₂在点Q（x₂，-x₂²+a）的切线方程是

即y-（-x₂²+a）=-2x₂（x-x₂）．

y=-2x₂x+x₂²+a．②

如果直线l是过P和Q的公切线，

则①式和②式都是l的方程，

x₁+1=-x₂，所以-x₁²=x₂²+a．

消去x₂得方程2x₁²+2x₂+1+a=0．

若判别式△=4-4×2（1+a）=0时，

即a=-

1

2

时解得x₁=-

1

2

，此时点P与Q重合．

即当a=-

1

2

时C₁和C₂有且仅有一条公切线，

由①得公切线方程为y=x-

1

4

．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知．

当a＜-

1

2

时C₁和C₂有两条公切线

设一条公切线上切点为：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．

其中P在C₁上，Q在C₂上，则有x₁+x₂=-1，

y₁+y₂=x₁²+2x₁+（-x₂²+a）=x₁²+2x₁-（x₁+1）²+a=-1+a．

线段PQ的中点为(-

1

2

，

-1+a

2

)．

同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是(-

1

2

，

-1+a

2

)

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．