问题
解答题
已知数列{xn}中，x1=1，xn+1=1+
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn． |
答案
证明：由x1=1，xn+1=1+
知，xn＞0（n∈N*），xn p+xn
（Ⅰ）当p=2时，xn+1=1+
，xn 2+xn
（1）当n=1时，x1=1＜
，命题成立．2
（2）假设当n=k时，xk＜
，2
则当n=k+1时，xk+1=1+
=2-xk 2+xk
＜2-2 2+xk
=2 2+ 2
，2
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），xn＜
（n∈N*）．（4分）2
（Ⅱ）用数学归纳法证明，xn+1＞xn（n∈N*）．
（1）当n=1时，x2=1+
＞1=x1，命题成立．x1 p+x1
（2）假设当n=k时，xk+1＞xk，
∵xk＞0，p＞0，
∴
＜p p+xk+1
，p p+xk
则当n=k+1时，xk+1=1+
=2-xk p+xk
＜2-p p+xk
=xk+2，p p+xk+1
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），xn+1＞xn（n∈N*）．（8分）
故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn．（10分）