已知函数f(x)=13ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g（x）=ax

问题解答题

已知函数f(x)=

ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，设x₀为f（x）的极小值点，x₁为g（x）的极值点，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，将点（x₀，f（x₀）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次记为A，B，C，D．
（1）求x₀的值；
（2）若四边形APCD为梯形且面积为1，求a，d的值．

答案

（1）f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d），

令f′（x）=0，

由a≠0得x=-1或x=-1-

∵a＞0，d＞0．

∴-1-

＜-1

当-1-

＜x＜-1时，f′（x）＜0，

当x＞-1时f′（x）＞0，

所以f（x）在x=-1处取极小值，即x₀=-1

（2）g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d

∵a＞0，x∈R

∴g（x）在x=-

2a+4d

=-1-

处取得极小值，即x1=-1-

由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0

∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃

∴x2=-1-

，x1=-1

∵f(x0) =f(-1)=-

g(x1) =g(-1-

) =-

4d2

∴A(-1，-

a)，B(-1-

，-

4d2

)，C(-1-

，0)，D（-1，0）

由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB∥CD．

4d2

即a²=12d²

由四边形ABCD的面积为1，得

(|AB|+|CD|)•|AD|=1

即

(

) •

=1得d=1，

从而a²=12得a=2

，d=1