问题
解答题
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．
答案
（Ⅰ）f′(x)=
+lnx-1=lnx+x+1 x
，1 x
xf'（x）=xlnx+1，
题设xf'（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，则g′(x)=
-11 x
当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=-1
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+
-1)=lnx-x(ln1 x
-1 x
+1)≥01 x
所以（x-1）f（x）≥0