问题
解答题
某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为
（Ⅰ）如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？ （Ⅱ）求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率． |
答案
（I）设选手甲在A区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，P(ξ=0)=(1-
)2=9 10
；P(ξ=2)=1 100 C 12
•(1-9 10
)=9 10
；P(ξ=4)=(18 100
)2=9 10
．81 100
所以ξ的分布列为
| ξ | 0 | 2 | 4 | ||||||
| p |
|
|
|
同理，设选手甲在B区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，P(η=0)=(1-
)3=1 3
； P(η=3)=8 27 C 13
•(1-1 3
)2=1 3
；4 9 P(η=6)=
(C 23
)2(1-1 3
)=1 3
； P(η=9)=(2 9
)3=1 3
.1 27
所以η的分布列为：
| η | 0 | 3 | 6 | 9 | ||||||||
| p |
|
|
|
|
（Ⅱ）设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，有（I）知：
P(C)=P(ξ＞η)=P(ξ=4 且η=3或0)+P(ξ=2且η=0) =
×(81 100
+8 27
)+4 9
×18 100
=8 27 49 75
故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为
．49 75