问题
解答题
已知二次函数y=
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）∵二次函数y=
x2+bx+c的图象过点A（-3，6），B（-1，0），1 2
得
，
-3b+c=69 2
-b+c=01 2
解得
．b=-1 c=- 3 2
∴这个二次函数的解析式为：
y=
x2-x-1 2
．（4分）3 2
由解析式可求P（1，-2），C（3，0），（5分）
画出二次函数的图象；（6分）
（2）解法一：
易证：∠ACB=∠PCD=45°，
又已知：∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，（8分）
∴
=DC BC
，PC AC
易求AC=6
，PC=22
，BC=4，2
∴DC=
，4 3
∴OD=3-
=4 3
，5 3
∴D（
，0）．（10分）5 3
解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
设抛物线的对称轴交x轴于F，
亦可证△AEB∽△PFD，（8分）
∴
=PE PF
，EB FD
易求：AE=6，EB=2，PF=2，
∴FD=
，2 3
∴OD=
+1=2 3
，5 3
∴D（
，0）；（10分）5 3
（3）存在．
①过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T，
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，
∴MG=MH=OM，（11分）
又∵MC=
OM且OM+MC=OC，2
∴
OM+OM=3，2
得OM=3
-3，2
∴M（3
-3，0）（12分）2
②在x轴的负半轴上，存在一点M′，
同理OM′+OC=M′C，OM′+OC=
OM′2
得OM′=3
+32
∴M′(-3
-3，0)（14分）2
即在x轴上存在满足条件的两个点．
