问题
解答题
| 已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10． （1）求证：
（2）求9x2+9y2+z2的最小值． |
答案
（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][
+25x2 4y+3z
+16y2 3z+5x
]≥（5x+4y+3z）29z2 5x+4y
因为5x+4y+3z=10，所以
+25x2 4y+3z
+16y2 3z+5x
≥9z2 5x+4y
=5．102 20
（2）根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2
=2•3x2+y2+z2，9x2•9y2+z2
当且仅当x2=y2+z2时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x2+y2+z2）（52+42+32）≥（5x+4y+3z）2=100，
即 （x2+y2+z2）≥2，当且仅当
=x 5
=y 4
时，等号成立．z 3
综上，9x2+9y2+z2≥2•32=18．