（I）∵y₁=

1

2

x²-x+1=

1

2

（x-1）²+

1

2

，

∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，

1

2

）；

（II）①证明：根据题意得：点A（0，1），

∵F（1，1），

∴AB∥x轴，得AF=BF=1，

∴

1

AF

+

1

BF

=2；

②

1

PF

+

1

QF

=2成立．

理由：

如图，过点P（x_p，y_p）作PM⊥AB于点M，

则FM=1-x_p，PM=1-y_p，（0＜x_p＜1），

∴Rt△PMF中，由勾股定理，

得PF²=FM²+PM²=（1-x_p）²+（1-y_p）²，

又点P（x_p，y_p）在抛物线C₁上，

得y_p=

1

2

（x_p-1）²+

1

2

，即（x_p-1）²=2y_p-1，

∴PF²=2y_p-1+（1-y_p）²=y_p²，

即PF=y_p，

过点Q（x_Q，y_Q）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，

同理可得：QF=y_Q，

∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，

∴△PMF∽△QNF，

∴

PF

QF

=

PM

QN

，

这里PM=1-y_p=1-PF，QN=y_Q-1=QF-1，

∴

PF

QF

=

1-PF

QF-1

，

即

1

PF

+

1

QF

=2；

（III）令y₃=x，

设其图象与抛物线C₂交点的横坐标为x₀，x₀′，且x₀＜x₀′，

∵抛物线C₂可以看作是抛物线y=

1

2

x²左右平移得到的，

观察图象，随着抛物线C₂向右不断平移，x₀，x₀′的值不断增大，

∴当满足2＜x≤m，y₂≤x恒成立时，m的最大值在x₀′处取得．

可得：当x₀=2时，所对应的x₀′即为m的最大值．

于是，将x₀=2代入

1

2

（x-h）²=x，

有

1

2

（2-h）²=2，

解得：h=4或h=0（舍去），

∴y₂=

1

2

（x-4）²．

此时，由y₂=y₃，得

1

2

（x-4）²=x，

解得：x₀=2，x₀′=8，

∴m的最大值为8．