问题
解答题
设函数f（x）=ex-e-x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．
答案
（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=ex+e-x．
由于ex+e-x≥2
=2，故f'（x）≥2．ex•e-x
（当且仅当x=0时，等号成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，则g'（x）=f'（x）-a=ex+e-x-a，
（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=ex+e-x-a＞2-a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为x1=ln
，a+ a2-4 2
此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是（-∞，2]．
