问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值； （Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． |
答案
（Ⅰ）由已知f(1)=S2=1+
=1 2
，f(2)=S4-S1=3 2
+1 2
+1 3
=1 4
，f(3)=S6-S2=13 12
+1 3
+1 4
+1 5
=1 6
；（3分）19 20
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用数学归纳法证明：
（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）
（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即f(k)=
+1 k
++1 k+1
＜1，那么f(k+1)=1 2k
+1 k+1
++1 k+2
+1 2k
+1 2k+1
=(1 2k+2
+1 k
+1 k+1
++1 k+2
)+1 2k
+1 2k+1
-1 2k+2
＜1+(1 k
-1 2k+1
)+(1 2k
-1 2k+2
)=1+1 2k
+2k-(2k+1) 2k(2k+1)
=1-2k-(2k+2) 2k(2k+2)
-1 2k(2k+1)
＜1，1 k(2k+2)
所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）
所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）