（1）由y=ax²-2ax+c-1=a（x-1）²+c-1-a得抛物线的顶点为

A（1，c-1-a）．

∵点A在直线y=-

8

3

x+8上，

∴c-1-a=-

8

3

×1+8，

即c=a+

19

3

，①

又抛物线与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，

∴α、β是方程ax²-2ax+c-1=0的两个根．

∴α+β=2，αβ=

c-1

a

，

又α²+β²=10，即（α+β）²-2αβ=10，

∴4-2×

c-1

a

=10，

即c=1-3a②，

由①②解得：a=-

4

3

，c=5，

∴y=-

4

3

x²+

8

3

x+4，

此时，抛物线与x轴确有两个交点，

答：这个抛物线解析式为：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4．

（2）由抛物线y=-

4

3

x²+

8

3

x+4，

令x=0，得y=4，故P点坐标为（0，4），

令y=0，解得x₁=-1，x₂=3，

∵α＜β，∴B（-1，0），C（3，0），

∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP=

OP

PC

=

4

5

，

∵BH=t，∴HC=4-t．

∵HK∥BP，

BH

HC

=

PK

KC

，

t

4-t

=

PK

5-PK

，

∴PK=

5

4

t

如图，过H作HG⊥PC于G，则HG=HC，

sin∠BCP=（4-t）•

4

5

=

4

5

（4-t），

∴S=

1

2

×

5

4

t×

4

5

（4-t）=

1

2

t²+2t，

∵点H在线段BC上且HK∥BP，∴0＜t＜4．

∴所求的函数式为：S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4），

答：将S表示成t的函数为S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=-

1

2

t²+2t=-

1

2

（t-2）²+2（0＜t＜4），知：

当t=2（满足0＜t＜4）时，S取最大值，其值为2，

此时，点H的坐标为（1，0），

∵HK∥PB，且H为BC的中点，

∴K为PC的中点，

作KK′⊥HC于K′，

则KK′=

1

2

PO=2，OK′=

1

2

CO=

3

2

，

∴点K的坐标为（

3

2

，2），

设所求直线的解析式为y=kx+b，则

0=k+b 2= 3 2 +b

，

∴

k=4 b=-4

故所求的解析式为y=4x-4，

答S的最大值是2，S取最大值时过H、K两点的直线的解析式是y=4x-4．