证：首先，xn+1-xn=

由于x₁＞0，由数列{x_n}的定义可知x_n＞0，（n=1，2，…）

所以，x_n+1-x_n与1-x_n²的符号相同．

①假定x₁＜1，我们用数学归纳法证明1-x_n²＞0（n∈N）

显然，n=1时，1-x₁²＞0

设n=k时1-x_k²＞0，那么当n=k+1时

1-

因此，对一切自然数n都有1-x_n²＞0，

从而对一切自然数n都有x_n＜x_n+1

②若x₁＞1，

当n=1时，1-x₁²＜0；

设n=k时1-x_k²＜0，那么当n=k+1时

1-

因此，对一切自然数n都有1-x_n²＜0，

从而对一切自然数n都有x_n＞x_n+1