问题
解答题
某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率； （Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． |
答案
（Ⅰ） 选手甲答3道题可进入决赛的概率为(
)3=2 3
； …1分8 27
选手甲答4道题可进入决赛的概率为
(C 23
)2•2 3
•1 3
=2 3
；…3分8 27
选手甲答5道题可进入决赛的概率为
(C 24
)2•(2 3
)2•1 3
=2 3
； …5分16 81
∴选手甲可进入决赛的概率p=
+8 27
+8 27
=16 81
． …7分64 81
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有p(ξ=3)=(
)3+(2 3
)3=1 3
，p(ξ=4)=1 3
(C 23
)2•2 3
•1 3
+2 3
(C 23
)2•1 3
•2 3
=1 3
，p(ξ=5)=10 27
(C 24
)2•(2 3
)2•1 3
+2 3
(C 24
)2•(2 3
)2•1 3
=1 3
，…10分8 27
因此，有
| ξ | 3 | 4 | 5 | ||||||
| p |
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 107 |
| 27 |
| 26 |
| 27 |