证明：（1）①当n=1时，

∵x2=

x12

2(x1-1)

=x1+

(2-x1)x1

2(x1-1)

，

x2=

x12

2(x1-1)

=

4(x1-1)+x12 -4x1+4

2(x1-1)

=2+

(x1-2)2

2(x1-1)

，x₁=a＞2，

∴2＜x₂＜x₁．

结论成立．

②假设n=k时，结论成立，即2＜x_k+1＜x_k（k∈N⁺），

则xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=xk+1+

(2-xk+1)xk+1

2(xk+1-1)

＞x_k+1，

xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=2+

(xk+1-2)2

2(xk+1-1)

＞2．

∴2＜x_k+2＜x_k+1，

综上所述，由①②知2＜x_n+1＜x_n．

∴x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．

（2）由条件x₁=a≤3知不等式当n=1时成立

假设不等式当n=k（k≥1）时成立

当n=k+1时，由条件及x_k＞2知xk+1≤1+

1

2k

⇔

x

2k

≤2(xk-1)(2+

1

2k

)

⇔

x

2k

-2(2+

1

2k

)xk+2(2+

1

2k

)≤0

⇔(xk-2)[xk-(2+

1

2k-1

)]≤0，

再由x_k＞2及归纳假设知，

上面最后一个不等式一定成立，

所以不等式xk+1≤2+

1

2k

也成立，

从而不等式xn≤2+

1

2n-1

对所有的正整数n成立