问题
解答题
试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．
当n=1时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．
答案
当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，
当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，
当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，
当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．
①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64
即nn+1＞（n+1）n成立．
②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：
＞1kk+1 (k+1)k
则当n=k+1时，
=(k+1)•((k+1)k+2 (k+2)k+1
)k+1＞(k+1)•(k+1 k+2
)k+1=k k+1
＞1kk+1 (k+1)k
即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，
∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．
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