问题
解答题
已知二次函数y=a（x+1）2+m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，顶点为M，直线MC的解析式为y=kx-3，且直线MC与x轴交于点N，sin∠BCO=
（1）求直线MC及二次函数的解析式； （2）在二次函数的图象上是否存在点P（异于点C），使以点P、N、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由直线MC的解析式y=kx-3，得C（0，-3）．
设OB=t，
∵sin∠BCO=
=OB BC
=10 10
，1 10
∴BC=
t，则OC=3t．10
∵OC=3，∴3t=3，
∴t=1．∴OB=1．
∵点B（1，0），C（0，-3）都在二次函数的图象上，
∴
，解得a=1，m=-4，4a+m=0 a+m=-3
∴二次函数的解析式为：y=x2+2x-3．
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3即k=1．
∴直线MC的解析式为：y=x-3；
（2）存在这样的点P．
①由于∠CNO=45°，则N（3，0），在y轴上取点D（0，3），连接ND交抛物线于点P（如图）．
∴PNC=90°．
直线ND的解析式为：y=-x+3．
解方程组
，y=-x+3 y=x2+2x-3
解得
，x1= -3+ 33 2 y1= 9- 33 2
；x2= -3- 33 2 y2= 9+ 33 2
②由于点A是二次函数图象与x轴的另一交点，故A（-3，0）．连接AC（如图），∠ACN=90°，点A就是所求的点
P（-3，0）．
综上，满足条件的点为P1（-3，0），P2（
，-3+ 33 2
），P3（9- 33 2
，-3- 33 2
）．9+ 33 2
