（人教版）已知：二次函数y=x2-（m+1）x+m的图象交x轴于A（x1，0）、

问题解答题

（人教版）已知：二次函数y=x²-（m+1）x+m的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，交y轴正半轴于点C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）是否存在过点D（0，-

）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

答案

（1）因为x₁²+x₂²=10，

所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根据根与系数的关系，（m+1）²-2m=10，

所以m=3，m=-3，

又因为点C在y轴的正半轴上，

∴m=3，

∴所求抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）过点D（0，-

）的直线与抛物线交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．

设直线MN的解析式为：y=kx-

，

则有：Y_M+Y_N=0，（6分）

由

y=x2-4x+3

y=kx-

，

x²-4x+3=kx-

，

移项后合并同类项得x²-（k+4）x+

=0，

∴x_M+x_N=4+k．

∴y_M+y_N=kx_M-

+kx_N-

=k（x_M+x_N）-5=0，

∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，

即k（k+4）-5=0，

∴k=1或k=-5．

当k=-5时，方程x²-（k+4）x+

=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，

∴k=1，

∴直线MN的解析式为y=x-

，

∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；

∴存在过点D（0，-

）的直线与抛物线交于M，N两点，与x轴交于点E．使得M、N两点关于点E对称．