问题
解答题
已知函数f(x)＝x2＋ln x－1.
(1)求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方
(3)(理)求证：[f′(x)]n－f′(xn)≥2n－2(n∈N*)
答案
(1)∵f′(x)＝x＋，
当x∈[1，e]时，f′(x)>0.∴函数f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝e2，f(x)min＝f(1)＝－.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－1－x3
则F′(x)＝x＋－2x2＝
＝.
∵当x>1时F′(x)<0，∴函数F(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，∴F(x)<F(1)＝－1－<0，
即在(1，＋∞)上，f(x)<g(x)．
∴在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
(3)(理)证明：∵f′(x)＝x＋，
当n＝1时，不等式显然成立；当n≥2时，
∵[f′(x)]n－f′(xn)＝n－
＝Cxn－2＋Cxn－3＋…＋C，①
[f′(x)]n－f′(xn)＝C＋C＋…＋Cxn－2，②
①＋②得[f′(x)]n－f′(xn)＝
≥C＋C＋…＋C＝2n－2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．
∴当n≥2时，不等式成立．
综上所述得[f′(x)]n－f′(xn)≥2n－2(n∈N＋)．