问题 解答题

已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),顶点M的纵坐标为-4,若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根,且x21+x22=10.

(1)求A、B两点的坐标;

(2)求抛物线的解析式及点C的坐标;

(3)在抛物线上是否存在点P,使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.

答案

(1)∵x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根,

∴x1+x2=2(m-1),x1•x2=m2-7.

又∵x12+x22=10,

∴(x1+x22-2x1x2=10,

∴[2(m-1)]2-2(m2-7)=10,

即m2-4m+4=0.

解得:m1=m2=2.

将m=2代入方程x2-2(m-1)x+m2-7=0,

得:x2-2x-3=0,

解得:x1=-1,x2=3.

∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).

(2)因为抛物线与x轴的交点为A(-1,0)、B(3,0),由对称性可知,顶点M的横坐标为1,则顶点M的坐标为(1,-4).

a-b+c=0
9a+3b+c=0
a+b+c=-4

解得:

a=1
b=-2
c=-3

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

在y=x2-2x-3中,

令x=0,得y=-3.

∴点C的坐标为(0,-3).

(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,

则AO=OD=1,DB=2,OC=3,

DM=4,AB=4.

∴S四边形ACMB=S△ACO+S梯形OCMD+S△DMB

=

1
2
•AO•CO+
1
2
(CO+MD)+
1
2
DB•MD

=

1
2
×1×3+
1
2
×(3+4)×1+
1
2
×2×4=9.

设P(x0,y0)为抛物线上一点,

则S△PAB=

1
2
AB•|y0|.

若S△PAB=2S四边形ACMB

1
2
•AB•|y0|=18,

∴丨y0丨=9,y0=±9.

将y0=9代入y=x2-2x-3中,得x2-2x-3=9,

即x2-2x-12=0,

解得:x1=1-

13
,x2=1+
13

将y0=-9代入y=x2-2x-3中,得:x2-2x-3=-9,

即x2-2x+6=0.

∵△=(-2)2-4×1×6=-20<0,

∴此方程无实数根.

∴符合条件的点P有两个:P1(1-

13
,9),P2(1+
13
,9).

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