（1）证明：令y=0，则x²-mx+m-2=0，

∵△=（-m）²-4（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4，（1分）

又∵（m-2）²≥0，

∴（m-2）²+4＞0，即△＞0．

∴无论m为任何实数，一元二次方程x²-mx+m-2=0总有两不等实根；

∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．（2分）

（2）∵二次函数y=x²-mx+m-2的图象经过点（3，6），

∴3²-3m+m-2=6，

解得m=

1

2

；

∴二次函数的解析式为y=x2-

1

2

x-

3

2

．（3分）

（3）将y=x向下平移2个单位长度后得到解析式为：y=x-2，（4分）

解方程组

y=x-2 y=x2- 1 2 x- 3 2

，

得

x1= 1 2 y1=- 3 2

，

x2=1 y2=-1

；

∴直线y=x-2与抛物线y=x2-

1

2

x-

3

2

的交点为A(

1

2

，-

3

2

)

，&B(1，-1)

；

∴点A关于对称轴x=

1

4

的对称点是A′(0，-

3

2

)，

点B关于x轴的对称点是B'（1，1），设过点A'、B'的直线解析式为y=kx+b；

∴

b=- 3 2 k+b=1

，

k= 5 2 b=- 3 2

，

∴直线A'B'的解析式为y=

5

2

x-

3

2

；

∴直线A'B'与x轴的交点为F(

3

5

，0)（5分）

与直线x=

1

4

的交点为E(

1

4

，-

7

8

)（6分）

则点E(

1

4

，-

7

8

)、F(

3

5

，0)为所求；

过点B'做B'H⊥AA'的延长线于点H，

∴B′H=

5

2

，HA'=1；

在Rt△A'B'H中，A′B′=

B′H2+A′H2

=

29

2

，

∴所求最短总路径的长为AE+EF+FB=A'B'=

29

2

．（7分）