问题 解答题

在直角△ABC中,∠C=90°,直角边BC与直角坐标系中的x轴重合,其内切圆的圆心坐标为P(0,1),若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A.求:

(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向;

(2)用k表示B点的坐标;

(3)当k取何值时,∠ABC=60°?

答案

(1)∵y=kx2+2kx+1

∴对称轴x=-1,易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴,

由题易得A(-1,1-k),又当x=0时,y=1

即抛物线过p(0,1),

故k<0开口向下.(4分)

(2)如图,

AC=1-KBC=CO+OB=1+OBAB=AD+BD=AE+OB=AC-CE+OB=OB-k

由勾股定理得(1-k)2+(1+OB)2=(OB-k)2⇒OB=

k-1
k+1
B(
k-1
k+1
,0)
(4分)

(3)∵∠ABC=60°,

tan∠ABC=

3

tan∠ABC=

1-k2
2k
=
3

k2+2

3
k-1=0

k^=-

3
+2,k2=-
3
-2

又∵k<0

k=-

3
-2.(4分)

单项选择题
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