（1）S₁=a₁=1.S₂=，S₃==，S₄=，猜想S_n=（n∈N^*）. 

（2）见解析

本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．

（1）先根据数列的前n项的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．

（2）利用a_n=S_n-S_n-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得a_n．

（1）解 ∵a_n=S_n-S_n-1（n≥2）

∴S_n=n²（S_n-S_n-1），∴S_n=S_n-1（n≥2）

∵a₁=1，∴S₁=a₁=1.

∴S₂=，S₃==，S₄=，                    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想S_n=（n∈N^*）.                      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

（2）证明 ①当n=1时，S₁=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N^*）时，等式成立，即S_k=，

当n=k+1时，

S_k+1=（k+1）²·a_k+1=a_k+1+S_k=a_k+1+，           

∴a_k+1=，

∴S_k+1=（k+1）²·a_k+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N^*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵a_k+1=，∴a_n=.              ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分