设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），

问题解答题

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜

x，定义数列a_n：a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求证：an+1+an-1＜

an(n=1，2，…)；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(

)n（n∈N^*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=

A•4n+B

成立；②当n=2，3，…时，有an＜

A•4n+B

成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．

答案

（1）∵f(x)+f-1(x)＜

x，令x=a_n，∴f(an)+f-1(an)＜

an．

即an+1+a n-1＜

an．

（2）∵an+1＜

an-an-1，∴an+1-2an＜

(an-2an-1)，

即bn＜

bn-1．∵b₀=a₁-2a₀=-6，

∴bn＜

bn-1＜(

)2bn-2＜…＜(

)nb0=(-6)(

)n（n∈N^*）．

（3）由（2）可知：an+1＜2an+(-6)(

)n，

假设存在常数A和B，使得an=

A•4n+B

对n=0，1成立，

则

a0=A+B=8

a1=

4A+B

=10

，解得A=B=4．

下面用数学归纳法证明an＜

4×4n+4

对一切n≥2，n∈N成立．

1°当n=2时，由an+1+an-1＜

an，得a2＜

a1-a0=

×10-8=17=

4×42+4

，

∴n=2时，an＜

4×4n+4

成立．

2°假设n=k（k≥2），不等式成立，即ak＜

4×4k+4

，

则ak+1＜2ak+(-6)(

)k＜

8×4k+8

-6

8×4k+2

4×4k+1+4

2k+1

即是说当n=k+1时，不等式也成立．

所以存在A，B，且A=B=4．