问题
解答题
| 各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明
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答案
（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=2n-1
（Ⅱ）只需证：1+
+…+1 3
≤ 1 2n-1
．2n-1
1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．
当n=2时，左边＜右边，所以命题成立
②假设n=k时命题成立，即1+
+…+1 3
≤1
-12k
，2k-1
当n=k+1时，左边=1+
+…+1 3
+1 2K-1
≤1 2K+1
+2K-1
．1 2K+1
＜
+2K-1 2
+2K+1 2K-1
=
+2K-1 2(
-2K+1
) 2K-1 2
=
．命题成立2(K+1)-1
由①②可知，
+1 a1
+…+1 a2
≤1 an
对一切n∈N+恒成立．2n-1