∵函数f（x）=

1

2

sin2x+sinx，

∴f^′（x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=2(cosx+

1

4

)2-

9

8

，当cosx=-

1

4

时，f^′（x）取得最小值-

9

8

；当cosx=1时，f^′（x）取得最大值2．

且f^′（-x）=f^′（x）．即f^′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．

故选C．