问题
解答题
由下列式子 1＞
1+
1+
1+
… 猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明． |
答案
猜想1+
+1 2
+…+1 3
＞1 2n-1 n 2
证明：（1）当n=1时，成立；
（2）假设n=k时，成立，即1+
+1 2
+…+1 3
＞1 2k-1
，k 2
则n=k+1时，左边=1+
+1 2
+…+1 3
+1 2k-1
+…+1 2k
＞ 1 2k+1-1
+k 2
+…+1 2k
，其中1 2k+1-1
+…+1 2k
共有2k项，1 2k+1-1
+…+1 2k
＞ 1 2k+1-1
＞2k 2k+1-1
=2k 2k+1
，1 2
所以1+
+1 2
+…+1 3
+1 2k-1
+…+1 2k
＞1 2k+1-1
+k 2
+…+1 2k
＞1 2k+1-1
，即n=k+1时，成立，k+1 2
由（1）（2）可知，结论成立．