问题
解答题
已知二次函数y=x2-2（k+1）x+4k的图象与x轴分别交于点A（x1，0）、B（x2，0），且-
（1）求k的取值范围； （2）设二次函数y=x2-2（k+1）x+4k的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求二次函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数y=x2-2（k+1）x+4k的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积． |
答案
（1）令y=0，则x2-2（k+1）x+4k=0，即（x-2k）（x-2）=0，
解方程得：x=2k或x=2，则A（2k，0），B（2，0）．
由题意得，-
＜2k＜-3 2
，1 2
故可得：-
＜k＜-3 4
．1 4
（2）∵OM=OB，B的坐标为：（2，0），
∴M点坐标为：（0，-2），
把点M的坐标分别代入y=x2-2（k+1）x+4k中，可得：4k=-2，
解得：k=-
，1 2 
故二次函数表达式为：y=x2-x-2．
（3）由（2）知k=-
，则A（-1，0）．1 2
①如图1，当AM为边时，AN=MF，且AN∥MF．
由（2）知，二次函数表达式为：y=x2-x-2．
∵M点坐标为：（0，-2），
∴当y=-2时，-2=x2-x-2，解得x=1或x=0，
∴点F的坐标为（1，-2）或（0，-2）（与点M重合，舍去），
∴AN=MF=1，
此时S▱AMFN=AN•NM=1×2=2；
②如图2，当AM为对角线时，同理证得AN=MF=1，
此时S▱AMFN=AN•NM=1×2=2；
③如图3，当AM为边时，AE=EN，ME=FE．
设F（a，b），N（t，0），
则
，
=a 2 t-1 2
=0b-2 2 b=a2-a-2
解得，
或a= 1+ 17 2 b=2 t= 3+ 17 2
，a= 1- 17 2 b=2 t= 3- 17 2
此时，S▱AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×
+2=5+3+ 17 2
，或S▱AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×17
+2=5-3- 17 2
；17
综上所述，符合条件的平行四边形的面积是：2，5+
或5-17
．17
