（1）如图，依题意，把直线y=-x-3沿y轴翻折后经过B、C两点，

∴点B坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3），

∴c=-3．

∴-9+3b-3=0．

解得b=4．

∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3．

（2）在坐标轴上存在这样的点F，使得∠DFB=∠DCB．

抛物线y=-x²+4x-3的顶点D的坐标为（2，1）．

设对称轴与x轴的交点为点E，

在Rt△DEB中，DE=BE=1，

∴∠DBE=45°．

在Rt△OBC中，OB=OC=3，

∴∠OBC=45°．

∴∠DBC=90°．

在Rt△DBC中，DB=

∴tan∠DCB=

∵DE⊥x轴，DE=1，

∴在x轴上存在EF₁=3，EF₂=3．

∴符合题意的点的坐标为F₁（-1，0）或F₂（5，0）

过点D作DF₃⊥y轴于F₃，

∴点F₃的坐标为（0，1）．

∵在Rt△F₃BO中，tan∠F3BO=

又∵DF₃∥x轴，

∴∠DF₃B=∠F₃BO．

∴点F₃（0，1）也是符合题意的点

综上，符合题意的点F的坐标为（-1，0）、F₂（5，0）或（0，1）．