证明：（I）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n=1，2，3，

（i）当n=1时，由已知显然结论成立．

（ii）假设当n=k时结论成立，即0＜a_k＜1．

因为0＜x＜1时f′（x）=1-cosx＞0，

所以f（x）在（0，1）上是增函数．又f（x）在[0，1]上连续，

从而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1．

故n=k+1时，结论成立．

由（ i）、（ii）可知，0＜a_n＜1对一切正整数都成立．

又因为0＜a_n＜1时，a_n+1-a_n=a_n-sina_n-a_n=-sina_n＜0，

所以a_n+1＜a_n，

综上所述0＜a_n+1＜a_n＜1．

（II）设函数g（x）=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1．由（I）知，

当0＜x＜1时，sinx＜x，

从而g′（x）=cosx-1+

x2

2

=-2sin2

x

2

+

x2

2

＞-2(

x

2

)2+

x2

2

=0．

所以g（x）在（0，1）上是增函数．

又g（x）在[0，1]上连续，且g（0）=0，

所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立．

于是g（a_n）＞0，即sina_n-a_n+

1

6

an³＞0．

故a_n+1＜

1

6

an³．