问题
解答题
已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．
(1)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值；
(2)当a＞0时，求函数f(x)的极值．
答案
f(x)＝x3－x2＋bx＋a，f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b
由f′(0)＝0得b＝0，f′(x)
＝x(x－a－1)．
(1)存在x＜0，使得f′(x)
＝x(x－a－1)＝－9，
－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，
∴a≤－7，
当且仅当x＝－3时，a＝－7.所以a的最大值为－7.
(2)当a＞0时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
| x | (－∞，0) | 0 | (0， a＋1) | a＋1 | (a＋1， ＋∞) |
| f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f(x) |  | 极大值 |  | 极小值 |  |
f(x)的极小值f(a＋1)
＝a－(a＋1)3