证明：假设

2

是有理数，不妨设

2

=

q

p

（p，q是互质的正整数）．

则

2

p=q?q²=2p²，故2必是q的因数．

于是可设q=2m（m为正整数），则2p²=4m²，即p²=2m²，故2又是p的因数．

因此p，q有公因数2，这与p，q是互质的正整数相矛盾．

这说明假设

2

是有理数不成立，故

2

是无理数．