问题
解答题
数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
答案
（1）a1=1，a2=
a3=
a4=
an=
(n∈N*)（2）证明略
（1）解 当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1.
当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.
当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.
当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=.
由此猜想an=(n∈N*).
（2）证明 ①当n=1时，a1=1，结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，即ak=
,
那么n=k+1时，
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
∴2ak+1=2+ak,
∴ak+1=
=
=
,
这表明n=k+1时，结论成立，
由①②知猜想an=
（n∈N*）成立.