问题
解答题
| （一）已知a，b，c∈R+， ①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac； ②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值． （二）已知a，b，x，y∈R+， ①求证：
②利用①的结论求
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答案
证明：（一）①a2+b2≥2ab，c2+b2≥2bc，a2+c2≥2ac，…（3分）
三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立 …（6分）
②1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
则ab+bc+ac≤
，当且仅当a=b=c时等号成立． …（12分）1 3
（二）①要证
+x2 a
≥y2 b
，只要证((x+y)2 a+b
+x2 a
)(a+b)≥(x+y)2，…（3分）y2 b
则(
+x2 a
)(a+b)=x2+y2+y2 b
+bx2 a
≥x2+y2+2xy=(x+y)2，ay2 b
当且仅当bx=ay时等号成立．故原不等式得证． …（6分）
②由①的结论知：
+1 2x
≥9 1-2x
=16，(1+3)2 2x+1-2x
当且仅当x=
时，等号成立． …（12分）1 8