问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=2x2+
（1）直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）； （2）设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系； （3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+
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答案
（1）当x=n时，y1=2n2+
，y2=n；1 4
∴A（n，2n2+
），B（n，n）．1 4
（2）d=AB=|yA-yB|=|2n2-n+
|．1 4
∴d=|2（n-
）2+1 4
|=2（n-1 8
）2+1 4
．1 8
∴当n=
时，d取得最小值1 4
．1 8
此时，B（
，1 4
），而M（0，1 4
）、P（1 4
，0）1 4
∴四边形OMBP是正方形
∴当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM．（如图）
（3）∵对一切实数x恒有x≤y≤2x2+
，1 4
∴对一切实数x，x≤ax2+bx+c≤2x2+
都成立．（a≠0）①1 4
当x=0时，①式化为0≤c≤
．1 4
∴整数c的值为0．
此时，对一切实数x，x≤ax2+bx≤2x2+
都成立．（a≠0）1 4
即
对一切实数x均成立．x≤ax2+bx② ax2+bx≤2x2+
③1 4
由②得ax2+（b-1）x≥0（a≠0）对一切实数x均成立．
∴a＞0④ △1=(b-1)2≤0⑤
由⑤得整数b的值为1．
此时由③式得，ax2+x≤2x2+
对一切实数x均成立．（a≠0）1 4
即（2-a）x2-x+
≥0对一切实数x均成立．（a≠0）1 4
当a=2时，此不等式化为-x+
≥0，不满足对一切实数x均成立．1 4
当a≠2时，∵（2-a）x2-x+
≥0对一切实数x均成立，（a≠0）1 4
∴2-a＞0⑥ △2=(-1)2-4×(2-a)×
≤0⑦1 4
∴由④，⑥，⑦得0＜a≤1．
∴整数a的值为1．
∴整数a，b，c的值分别为a=1，b=1，c=0．