某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为

问题解答题

某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm²）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

薄板的边长（cm）	20	30
出厂价（元/张）	50	70

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

，

4ac-b2

）

答案

（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．

由表格中的数据，得

50=20k+n

70=30k+n

，

解得

k=2

n=10

，

所以y=2x+10；

（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx²元，由题意，得：

p=y-mx²=2x+10-mx²，

将x=40，p=26代入p=2x+10-mx²中，

得26=2×40+10-m×40²．

解得m=

．

所以p=-

x²+2x+10．

②因为a=-

＜0，所以，当x=-

2×(-

)

=25（在5～50之间）时，

p_最大值=

4ac-b2

4×(-

)×10-22

4×(-

)

=35．

即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．