问题 解答题

已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围;

(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.

答案

(1)y=-2.

(2)[1,+∞)

(3)[0,8]

(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+ln x,f′(x)=2x-3+.

因为f′(1)=0,f(1)=-2.

所以切线方程是y=-2.

(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定义域是(0,+∞).

当a>0时,f′(x)=2ax-(a+2)+ (x>0),

令f′(x)=0,即f′(x)=

=0,

所以x=或x=.

当0<≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增,

所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2;

当1<<e时,f(x)在[1,e]上的最小值是f<f(1)=-2,不合题意;

≥e时,f(x)在(1,e)上单调递减,

所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2,不合题意.

综上a的取值范围是[1,+∞).

(3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+ln x,

只要g(x)在(0,+∞)上单调递增即可.

而g′(x)=2ax-a+

当a=0时,g′(x)=>0,此时g(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a≠0时,只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,因为x∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0,则需要a>0,

对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=>0,只需Δ=a2-8a≤0,

即0<a≤8.

综上a的取值范围是[0,8].

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