证明：假设

1+x

y

＜2与

1+y

x

＜2都不成立，即

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，…（2分）

∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，…（5分）

∴1+x+1+y≥2x+2y，…（8分）

∴x+y≤2…（10分）

这与已知x+y＞2矛盾…（12分）

∴假设不成立，即

1+x

y

＜2或

1+y

x

＜2中至少有一个成立…（14分）