问题
解答题
已知，开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-6，0），另一个交点是B，与y轴的交点是C，且抛物线的顶点的纵坐标是-2，△AOC的面积为6
（1）求点B、C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）M点从点A出发向点C以每秒
（4）在运动的过程中，过点M作MN∥x轴交BC边于N，试问，在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）设C（0，c），B（x2，0），
S△AOC=
|c|×6=61 2
，|c|=23
，3
又开口向上，对称轴为x=-2，
∴c＜0，
即c=-2
，3
-6+x2=-2×2，
x2=2，
点B坐标（2，0），点C坐标（0，-2
）；3
（2）把点A（-6，0），C（0，-2
）代入y=ax2+bx+c和对称轴-3
=-2，得b 2a
，36a-6b+c=0 c=-2 3 b=4a
解得
，a= 3 6 b= 2 3 3 c=-2 3
∴y=
x2+3 6
x-22 3 3
；3
（3）如图，
AB=8，AC=4
，BC=4，3
△ABC为直角三角形；
如图①，
P点运动到点B时，
△AMP的面积最大为y=
×8×1 2
=43
；3
当4≤x＜6时，沿BC向点C匀速运动，如图②，
AM=
x，PC=12-2x，3 2
△AMP的面积最大为，
△AMP的面积为y=
AM•PC=1 2
×1 2
x（12-2x），3 2
=-
（x-3）2+3 2 9 2
，3
这时△AMP的面积最大为
．9 3 2
综上所知△AMP的面积最大为
；9 3 2
（4）如图③，
△QMN为直角三角形
∠QMN或∠QNM为直角，
设Q为（x，0），到MN的距离为t，
则QM=-
x-23 3
=t，点N到x轴的距离是3
x-23
=t，3
则Q为（-4，0）或（0，0），
当∠MQN为直角时为（0，0）；
综上所知Q为（-4，0）或（0，0）．