问题
解答题
已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A（-3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．
答案
（1）由题意得，
，-2×9-3b+c=0 c=6
解得
，b=-4 c=6
所以，此二次函数的解析式为y=-2x2-4x+6；
（2）∵y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8，
∴函数y=2x2-4x+6的顶点坐标为（-1，8），
∴向右平移5个单位的后的顶点C（4，8），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，b=6 4k+b=8
解得
，k= 1 2 b=6
所以，直线BC的解析式为y=
x+6，1 2
令y=0，则
x+6=0，1 2
解得x=-12，
∴点D的坐标为（-12，0），
过点A作AH⊥BD于H，
OD=12，BD=
=OB2+OD2
=662+122
，5
AD=-3-（-12）=-3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴
=AH OB
，AD BD
即
=AH 6
，9 6 5
解得AH=
，9 5 5
∵AB=
=OA2+OB2
=332+62
，5
∴sin∠ABD=
=AH AB
=9 5 5 3 5
；3 5
（3）AB∥OC．
理由如下：方法一：∵BD=6
，BC=5
=2(4-0)2+(8-6)2
，AD=9，AO=3，5
∴
=BD BC
=3，AD AO
∴AB∥OC；
方法二：过点C作CP⊥x轴于P，
由题意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，
∴tan∠COP=
=CP OP
=2，8 4
tan∠BAO=
=OB OA
=2，6 3
∴tan∠COP=tan∠BAO，
∴∠BAO=∠COP，
∴AB∥OC．