问题 解答题

设函数f(x)=ex-ax-2.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.

答案

(1)f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.

(2)2

(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.

若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;

当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0.

所以,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.

(2)由于a=1时,(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.

故当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0等价于

k<+x(x>0)             ①

令g(x)=+x,则g′(x)=+1=.

由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增,

又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-4>0.

所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.

故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.

设此零点为α,则α∈(1,2).

当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0,

所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).

又由g′(α)=0,得eα=α+2, 所以g(α)=α+1∈(2,3).

由于①式等价于k<g(α),

故整数k的最大值为2.

问答题
单项选择题