问题
解答题
已知抛物线y=x2+mx-2m2（m≠0）．
（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m、n，使得AP=2PB？若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．
答案
（1）证明：△=m2-4×1×（-2m2）=9m2，
∵m≠0，∴△＞0，
∴该抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）由题意易知：点A、B的坐标满足方程：x2+mx-2m2=n，即x2+mx-（2m2+n）=0
由于方程有两个不相等的实数根，
因此△＞0，即m2-4×1×[-（2m2+n）]＞0⇒9m2+4n＞0，①
由求根公式可知两根为：xA=
，xB=-m- 9m2+4n 2
，-m+ 9m2+4n 2
∴AB=xB-xA=
--m+ 9m2+4n 2
=-m- 9m2+4n 2
，9m2+4n
PB=xB-xP=
-0=-m+ 9m2+4n 2
，-m+ 9m2+4n 2
分两种情况讨论：
第一种：如图1，点A在点P左边，点B在点P的右边
∵AP=2PB
∴AB=3PB
∴
=3×9m2+4n
⇒-m+ 9m2+4n 2
=3m．②9m2+4n
∴m＞0．③
由②式可解得n=0．④
第二种：如图2，点A、B都在点P左边
∵AP=2PB
∴AB=PB
∴
=0-9m2+4n
⇒3-m+ 9m2+4n 2
=m．⑤9m2+4n
∴m＞0．⑥
由⑤式可解得n=-
m2．⑦20 9
综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点P存在，此时m、n应满足条件：m＞0，n=0或n=-
m2．20 9