问题 解答题
函数y=-
3
16
x2+3的图象与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交直线y=kx于点M、N.
(1)用k表示S△OBN:S△MAO的值.
(2)当S△OBN=
1
4
S△MAO时,求图象过点M、N、B的二次函数的解析式.
答案

(1)由y=-

3
16
x2+3知:点A(4,0)、B(0,3);

当x=4时,y=kx=4k,即:M(4,4k);

当y=3时,kx=3,x=

3
k
,即:N(
3
k
,3);

∴AM=4|k|、BN=

3
|k|

∴S△OBN=

1
2
OB•BN=
1
2
•3•
3
|k|
=
9
2|k|
,S△MAO=
1
2
•OA•AM=
1
2
•4•4|k|=8|k|;

S△OBN
S△MAO
=
9
2|k|
8|k|
=
9
16k2

(2)由S△OBN=

1
4
S△MAO,得:
S△OBN
S△MAO
=
1
4
,即:
9
16k2
=
1
4
,解得:k=±
3
2

当k=

3
2
时,M(4,6)、N(2,3);

设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,有:

16a+4b+c=6
4a+2b+c=3
c=3
,解得:
a=
3
8
b=-
3
4
c=3

∴抛物线的解析式:y=

3
8
x2-
3
4
x+3;

当k=-

3
2
时,M(4,-6)、N(-2,3),同理可求得抛物线的解析式为:y=-
3
8
x2-
3
4
x+3;

综上,过点M、N、B的二次函数的解析式为:y=

3
8
x2-
3
4
x+3或y=-
3
8
x2-
3
4
x+3.

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