（1）二次函数y=x²+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3），

代入得：-

b

2×1

=2，3=c，

解得：b=-4，c=3，

答：b=-4，c=3．

（2）把b=-4，c=3代入得：y=x²-4x+3，

当y=0时，x²-4x+3=0，

解得：x₁=3，x₂=1，

B？（3，0），C（1，0），

答：二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是（3，0），（1，0）．

（3）存在：

理由是：y=x²-4x+3，

=（x-2）²-1，

顶点坐标是（2，-1），

设一次函数的解析式是y=kx+b，

把（0，0），（2，-1）代入得：

0=b -1=2k+b

，

解得：

k=- 1 2 b=0

，

∴y=-

1

2

x，

设P点的坐标是（x，-

1

2

x），

取BC的中点M，以M为圆心，以BM为半径画弧交直线于Q、H，

则Q、H符合条件，由勾股定理得；

（x-2）²+(-

1

2

x-0)2=1²，

解得：x₁=

6

5

，x₂=2，

∴Q（

6

5

，-

3

5

），H（2，-1）；

过B作BF⊥X轴交直线于F，

把x=3代入y=-

1

2

x得：y=-

3

2

，

∴F（3，-

3

2

），

过C作CE⊥X轴交直线于E，

同法可求：E（1，-

1

2

），

∴P的坐标是（

6

5

，-

3

5

）或（2，-1）或（3，-

3

2

）或（1，-

1

2

）．

答：存在，P的坐标是（

6

5

，-

3

5

）或（2，-1）或（3，-

3

2

）或（1，-

1

2

）．