问题
解答题
| 已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，α，β为方程y1-y2=0的两个根，点M（t，T）在函数y2的图象上． （Ⅰ）若α=
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由． |
答案
（1）∵y1=x，y2=x2+bx+c，y1-y2=0，
∴x2+（b-1）x+c=0．
将α=
，β=1 3
分别代入x2+（b-1）x+c=0，1 2
得（
）2+（b-1）×1 3
+c=0，（1 3
）2+（b-1）×1 2
+c=0，1 2
解得b=
，c=1 6
．1 6
∴函数y2的解析式为y2=x2+
x+1 6
．1 6
（2）由已知得：A（
，1 2
），B（1 2
，1 3
），得AB=1 3
=(
-1 2
)2+(1 3
-1 2
)21 3
，2 6
设△ABM的高为h，
∴S△ABM=
AB•h=1 2
h=2 12
，即1 123
h=2
，1 144
根据题意：|t-T|=
h，2
由T=t2+
t+1 6
，1 6
得：|-t2+
t-5 6
|=1 6
，1 144
当t2-
t+5 6
=-1 6
时，解得：t1=t2=1 144
；5 12
当t2-
t+5 6
=1 6
时，解得：t3=1 144
，t4=5- 2 12
；5+ 2 12
∴t的值为：
，5 12
，5- 2 12
；5+ 2 12
（3）由已知，得α=α2+bα+c，β=β2+bβ+c，T=t2+bt+c．
∴T-α=（t-α）（t+α+b）；
T-β=（t-β）（t+β+b）；
α-β=（α2+bα+c）-（β2+bβ+c），
化简得（α-β）（α+β+b-1）=0．
∵0＜α＜β＜1，得α-β≠0，
∴α+β+b-1=0．
有α+b=1-β＞0，β+b=1-α＞0．
又∵0＜t＜1，
∴t+α+b＞0，t+β+b＞0，
∴当0＜t≤a时，T≤α＜β；
当α＜t≤β时，α＜T≤β；
当β＜t＜1时，α＜β＜T．