问题 解答题
已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,2
3
),C(0,2
3
),点P在线段OA上(不与O、A重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点A’),折痕PQ与射线AB交于点Q,设OP=x,折叠后纸片重叠部分的面积为y.(图②供探索用)
(1)求∠OAB的度数;
(2)求y与x的函数关系式,并写出对应的x的取值范围;
(3)y存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时x的值;若不存在,说明理由.
答案

(1)∵两底边OA=10,CB=8,垂直于底的腰 OC=2

3

∴tan∠OAB=

2
3
10-8
=
3

∴∠OAB=60°.

(2)当点A′在线段AB上时,

∵∠OAB=60°,PA=PA′,

∴△A′PA是等边三角形,且QP⊥QA′,

∴PQ=(10-x)sin60°=

3
2
(10-x),A′Q=AQ=
1
2
AP=
1
2
(10-x),

∴y=S△AQP=

1
2
A′Q•QP=
3
8
(10-x)2

当A´与B重合时,AP=AB=

3
sin60°
=4,

所以此时6≤x<10;

当点A′在线段AB的延长线,且点Q在线段AB(不与B重合)上时,

纸片重叠部分的图形是四边形(如图②,其中E是PA′与CB的交点),

当点Q与B重合时,AP=2AB=8,点P的坐标是(2,0),

又由(2)中求得当A´与B重合时,P的坐标是(6,0),

所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2<x<6;

(3)y存在最大值.

①当6≤x<10时,y=

3
8
(10-x)2

在对称轴x=10的左边,S的值随着x的增大而减小,

∴当x=6时,y的值最大是2

3

②当2≤x<6时,由图②,重叠部分的面积y=S△A′QP-S△A′EB

∵△A′EB的高是A′B•sin60°,

∴y=

3
8
(10-x)2-
1
2
(10-x-4)2×
3
2
=
3
8
(-x2+4x+28)=-
3
8
(x-2)2+4
3

当x=2时,y的值最大是4

3

③当0<x<2,即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是(如图③,其中E是PA´与CB的交点,F是QP与CB的交点),

∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF,四边形EPAB是等腰形,

∴EF=EP=AB=4,

∴y=

1
2
EF•OC=
1
2
×4×2
3
=4
3

综上所述,S的最大值是4

3
,此时x的值是0<x≤2.

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