问题
解答题
已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2
（1）求∠OAB的度数； （2）求y与x的函数关系式，并写出对应的x的取值范围； （3）y存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，说明理由． |
答案
（1）∵两底边OA=10，CB=8，垂直于底的腰 OC=2
，3
∴tan∠OAB=
=2 3 10-8
，3
∴∠OAB=60°．
（2）当点A′在线段AB上时，
∵∠OAB=60°，PA=PA′，
∴△A′PA是等边三角形，且QP⊥QA′，
∴PQ=（10-x）sin60°=
（10-x），A′Q=AQ=3 2
AP=1 2
（10-x），1 2
∴y=S△AQP=
A′Q•QP=1 2
（10-x）2，3 8
当A´与B重合时，AP=AB=
=4，3 sin60° 
所以此时6≤x＜10；
当点A′在线段AB的延长线，且点Q在线段AB（不与B重合）上时，
纸片重叠部分的图形是四边形（如图②，其中E是PA′与CB的交点），
当点Q与B重合时，AP=2AB=8，点P的坐标是（2，0），
又由（2）中求得当A´与B重合时，P的坐标是（6，0），
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜x＜6；
（3）y存在最大值．
①当6≤x＜10时，y=
（10-x）2，3 8
在对称轴x=10的左边，S的值随着x的增大而减小，
∴当x=6时，y的值最大是2
；3
②当2≤x＜6时，由图②，重叠部分的面积y=S△A′QP-S△A′EB，
∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴y=
（10-x）2-3 8
（10-x-4）2×1 2
=3 2
（-x2+4x+28）=-3 8
（x-2）2+4 3 8
，3
当x=2时，y的值最大是4
；3
③当0＜x＜2，即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是（如图③，其中E是PA´与CB的交点，F是QP与CB的交点），
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF，四边形EPAB是等腰形，
∴EF=EP=AB=4，
∴y=
EF•OC=1 2
×4×2 1 2
=4 3
．3
综上所述，S的最大值是4
，此时x的值是0＜x≤2．3
