已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,2
(1)求∠OAB的度数; (2)求y与x的函数关系式,并写出对应的x的取值范围; (3)y存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时x的值;若不存在,说明理由. |
(1)∵两底边OA=10,CB=8,垂直于底的腰 OC=2
,3
∴tan∠OAB=
=2 3 10-8
,3
∴∠OAB=60°.
(2)当点A′在线段AB上时,
∵∠OAB=60°,PA=PA′,
∴△A′PA是等边三角形,且QP⊥QA′,
∴PQ=(10-x)sin60°=
(10-x),A′Q=AQ=3 2
AP=1 2
(10-x),1 2
∴y=S△AQP=
A′Q•QP=1 2
(10-x)2,3 8
当A´与B重合时,AP=AB=
=4,3 sin60°
所以此时6≤x<10;
当点A′在线段AB的延长线,且点Q在线段AB(不与B重合)上时,
纸片重叠部分的图形是四边形(如图②,其中E是PA′与CB的交点),
当点Q与B重合时,AP=2AB=8,点P的坐标是(2,0),
又由(2)中求得当A´与B重合时,P的坐标是(6,0),
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2<x<6;
(3)y存在最大值.
①当6≤x<10时,y=
(10-x)2,3 8
在对称轴x=10的左边,S的值随着x的增大而减小,
∴当x=6时,y的值最大是2
;3
②当2≤x<6时,由图②,重叠部分的面积y=S△A′QP-S△A′EB,
∵△A′EB的高是A′B•sin60°,
∴y=
(10-x)2-3 8
(10-x-4)2×1 2
=3 2
(-x2+4x+28)=-3 8
(x-2)2+4 3 8
,3
当x=2时,y的值最大是4
;3
③当0<x<2,即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是(如图③,其中E是PA´与CB的交点,F是QP与CB的交点),
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF,四边形EPAB是等腰形,
∴EF=EP=AB=4,
∴y=
EF•OC=1 2
×4×2 1 2
=4 3
.3
综上所述,S的最大值是4
,此时x的值是0<x≤2.3