问题
解答题
已知函数f（x）=exlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e 2x﹣1；
（3）设n∈N*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n﹣3．
答案
解：（1）定义域为（0，+∞），
由f ′（x）=exlnx（lnx+1），
令f ′（x）>0，解得x>
；令f '（x）<0，解得0<x<
．
故f（x）的增区间：（
，+∞），减区间：（0，
），
（2）即证：（x+1）ln（x+1）>2x-1
ln（x+1）>
ln（x+1）-
>0
令g（x）=ln（x+1）-，由g'（x）=
，
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）min=g（2）=ln3﹣1，
故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3﹣1＞0得证。
（3）由（2）得ln（x+1）>，即ln（x+1）>2-
，
所以ln[k（k+1）+1]>2-
>2-
，
则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1>（2-
）+（2-
）+...+[2-
]=2n-3+
>2n-3。．